SKKN Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán về bội chung và bội chung nhỏ nhất

 Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán về bội chung và bội chung nhỏ nhất
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
 -----------------
  MÃ SKKN
 PHÁT TRIỂN TƯ DUY CỦA HỌC SINH 
 QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BỘI CHUNG 
 VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
 MÔN: TOÁN 6
 Năm học : 2017 – 2018
 1/26 Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán về bội chung và bội chung nhỏ nhất
 A- ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài.
 Trong thời đại công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước hiện nay mục tiêu cơ 
bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con 
người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để 
đáp ứng với nhu cầu thực tế hiện nay. 
 Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta 
phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng 
như phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn Toán 
nói riêng.
 Ngày nay, với sự phát triển như vũ bão của khoa học kĩ thuật và sự phát 
triển mạnh mẽ của đất nước, đòi hỏi ngành giáo dục phải thay đổi tầm nhìn và 
phương thức hoạt động là yêu cầu tất yếu, vì sản phẩm của giáo dục là con 
người. Nó quyết định vận mệnh tương lai của một đất nước, điều này thể hiện rõ 
trong chính sách: “Coi giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu cùng với khoa 
học công nghệ là yếu tố quyết định góp phần phát triển khoa học và xã hội”. Do 
đó cần phải đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục và đào tạo của Việt Nam 
theo hướng chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc 
tế. 
 Xuất phát từ yêu cầu thực tế. Toán học ra đời gắn liền với con người, với 
lịch sử phát triển và cuộc sống xã hội loài người nói chung, con người nói riêng. 
Nó có lí luận thực tiễn lớn lao và quan trọng như đồng chí: Phạm Văn Đồng đã 
nói: “Toán học là môn thể thao của trí tuệ nó giúp chúng ta rèn luyện tính thông 
minh và sáng tạo”.
 Toán học là một trong những môn khoa học tự nhiên đòi hỏi tính thông 
minh và trí tưởng tưởng cao ở mỗi người học. Toán học đã góp phần không nhỏ 
trong sự phát triển của các bộ môn khoa học tự nhiên cũng như thúc đẩy các bộ 
môn khoa học xã hội phát triển, nó là nền tảng để xây dựng nên các môn khoa 
học tự nhiên khác. 
 Trong giáo dục, môn toán có một vị trí quan trọng. Trong nhà trường phổ 
thông Toán học là một môn học cơ bản. Đối với đa số học sinh, toán là một môn 
học khó nên trong quá trình học tập của học sinh ở trường phổ thông đòi hỏi 
phải có tư duy rất tích cực của học sinh. Trong đời sống hàng ngày thì toán học 
giúp con người có được các kĩ năng tính toán, vẽ hình, đọc, vẽ biểu đồ, đo đạc, 
ước lượng,... từ đó giúp con người có điều kiện thuận lợi để tiến hành các hoạt 
động lao động sản xuất trong thời kì công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước.
 Qua thực tế giảng dạy tôi thấy, học sinh lớp 6 bước đầu làm quen với 
 3/26 Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán về bội chung và bội chung nhỏ nhất
được BC và BCNN học sinh mới qui đồng được mẫu số và cộng, trừ được phân 
số và có kiến thức này học sinh mới quy đồng mẫu thức, cộng trừ phân thức ở 
những năm tiếp theo.
 Bên cạnh đó tôi còn thấy: 
 + Kỹ năng tìm BC và BCNN của các em còn yếu nếu không được rèn luyện 
nhiều.
 + Các bài toán về BC và BCNN các em còn mơ màng và không có khả năng 
suy luận. 
 + Những em không biết tìm BC và BCNN đã không biết làm bài tập và cứ 
thế yếu dần.
 Vậy để khắc phục những nhược điểm trên và gây cho các em hứng thú giờ 
học toán, thông qua giờ học phát triển được trí tuệ rèn luyện được tư duy sáng 
tạo về phương pháp, kỹ năng giải toán, để từ đó các em vận dụng vào giải các 
bài tập đạt hiệu quả cao nhất. Xuất phát từ lý do trên và sự tâm huyết với các em 
học sinh, niềm đam mê dành cho bộ môn toán tôi không ngừng trau dồi kiến 
thức, học hỏi kinh nghiệm, nâng cao tay nghề trong việc soạn giảng bằng những 
kinh nghiệm riêng của bản thân và đây cũng là lý do để tôi chọn đề tài này. 
2. Đối tượng nghiên cứu:
 + Lớp áp dụng đề tài: Học sinh lớp 6A.
 + Lớp đối chứng( không áp dụng đề tài): Học sinh lớp 6B. Hai lớp này tôi 
 đang trực tiếp giảng dạy của một trường THCS - Năm học 2017 – 2018.
 3 Mục đích nghiên cứu:
 Nghiên cứu nhằm đề ra các phương pháp sư phạm với mục đích: “Phát 
 triển tư duy học sinh qua một số bài toán về bộ chung và bội chung nhỏ nhất”, 
 góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán 6 nói riêng và toán THCS nói 
 chung.
 4. Phạm vi nghiên cứu:
 Thời gian: Từ tháng 9 năm 2017 đến tháng 1 năm 2018.
 5. Nhiệm vụ nghiên cứu:
 Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm sáng tỏ một số vấn đề 
 như sau:
 + Làm sáng tỏ cơ sở lí luận về kĩ năng giải toán.
 + Đề xuất các phương pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải toán cho học 
 sinh.
 + Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
 6. Phương pháp nghiên cứu:
 + Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, lí thuyết.
 + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
 + Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
 5/26 Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán về bội chung và bội chung nhỏ nhất
Nhiều học sinh làm đến đây lúng túng không biết cách giải quyết
 Ta có:
 a – 8  17 a – 8 + 17  17 
 a – 16  25 => a – 16 + 25  25 
 a + 9  17
 => => a + 9 BC ( 17; 25 ) 
 a + 9  25
 Mà BCNN ( 17; 25 ) = 425
 a + 9 = B ( 425 ) = { 0; 425; 850; 1275;}
 Vì a là số tự nhiên có 3 chữ số nên a + 9 = 425 => a = 416
 a + 9 = 850 => a = 841
 Vậy số cần tìm là: 416 và 841.
 Với đề bài như trên kết quả thu được của 2 lớp 6 mà tôi đang giảng dạy tại 
 một trường THCS như sau:
 * Lớp 6A:
 Điểm 0 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5 9.0-10 TB 
 Số học sinh: 36 0 6 14 10 4 2 16
 * Lớp 6B:
 Điểm 0 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5 9.0-10 TB 
 Số học sinh: 37 0 9 15 10 2 1 13
 Thông qua kết quả trên tôi rút ra được một số kết luận như sau:
1) Về phía giáo viên:
 Thực tế trong quá trình học tập trong trường THCS hiện nay, còn một vài 
giáo viên không xem trọng việc tự học ở nhà của học sinh mà thường giáo viên 
chỉ hướng dẫn một cách sơ sài, giáo viên chưa phát huy hết tác dụng của đồ 
dùng dạy học, đặt câu hỏi chưa rõ ràng hoặc chưa sát với yêu cầu bài toán, chưa 
đưa ra được các dạng bài toán tổng hợp ở cuối chương làm cho học sinh không 
được rèn luyện nhiều, do đó chưa hình thành được kĩ năng giải toán làm cho các 
em gặp nhiều khó khăn trong quá trình học toán.
2) Về phía học sinh:
 Học sinh của trường THCS mà tôi đang giảng dạy tiếp thu bài còn chậm và 
vận dụng kiến thức từ lý thuyết của các bài toán về BC và BCNN vào làm bài 
tập còn hạn chế. Khả năng tính toán của các em chưa linh hoạt, chưa vận dụng 
hợp lí các phương pháp giải, giải toán chưa hợp logic, khả năng phân tích, dự 
 7/26 Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán về bội chung và bội chung nhỏ nhất
B. GIẢI PHÁP VÀ CÁCH THỰC HIỆN: 
 - Trang bị và yêu cầu học sinh nắm chắc lí thuyết.
 - Hệ thống bài tập đơn giản.
 - Hệ thống bài tập nâng cao.
 * Nội dung đề tài.
 Muốn cho học sinh nắm chắc kiến thức cần trang bị cho các em lí thuyết, 
đồng thời rèn luyện cho các em làm thành thạo các bài toán cơ bản về BC và 
BCNN.
1) Kiến thức cơ bản.
 - Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì a gọi là bội của b; b gọi là 
ước của a.
 - Tập hợp các bội của a kí hiệu là B(a)
 - Muốn tìm bội của một số a (a 0) bằng cách nhân số a lần lượt với 0; 1; 
2; 3; . Bội của a có dạng tổng quát là a.k với k N.
 - Bội chung của 2 hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
 - Tập hợp các bội chung của hai số a và b kí hiệu là BC(a,b)
 x BC(a,b) nếu x  a; x  b
 - BCNN của 2 hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các BC của 
các số đó.
 - Bội chung nhỏ nhất của hai số a và b kí hiệu BCNN(a,b)
 - Cách tìm BCNN của 2 hay nhiều số lớn hơn 1: (ta làm theo 3 bước) 
 Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
 Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
 Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn 
nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
 - Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của 
chúng là tích của các số đó.
 - Trong các số đã cho nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN 
của các số đã cho là số lớn nhất ấy.
 - Muốn tìm BC của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các 
số đó 
2) Các dạng bài tập và cách giải.
 a. Hệ thống bài tập đơn giản nhằm giúp các em nắm chắc kiến thức cơ bản.
Bài toán 1: (Ví dụ 3/T59 – Sách trọng tâm kiến thức và phương pháp giải bài 
tập toán 6 tập 1)
 Tìm tập hợp các bội chung của:
 a) 5 và 15
 9/26 Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán về bội chung và bội chung nhỏ nhất
 B (12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; 72;}
 B (18) = {0; 18; 36; 54; 72;}
 => BC (9; 12; 18) = {0; 36; 72; }
 Cách 2: 
 Ta có: 9 = 32
 12 = 22.3
 18 = 2.32
 => BCNN(9;12; 18) = 22.32 = 4.9 = 36
 => BC(9;12; 18) = B(36) = {0; 36; 72; 108; 144; }
Bài toán 2: (Bài 193/T30 – Sách bài tập toán 6 tập 1)
 Tìm BC có 3 chữ số của 63; 35; 105.
 Học sinh khi gặp những bài toán này nên tìm BC của các số đã cho bằng 
cách tìm BC thông qua BCNN của các số đó. Không dùng phương pháp liệt kê, 
vì nếu dùng phương pháp liệt kê thì sẽ mất nhiều thời gian.
 Ta có: 
 63 = 32.7
 35 = 5.7
 105 = 3.5.7
 => BCNN (63; 35; 105) = 32.5.7 = 9.5.7 = 315
 => BC (63; 35; 105) = B (315) = {0; 315; 630; 945; 1260; }.
 Vậy BC có 3 chữ số của 63; 35; 105 là 315; 630; 945.
Bài toán 3:( Ví dụ 2/T58 – Sách giáo khoa toán 6 tập 1)
 Tìm BCNN của 8; 18; 30.
 Ta có: 
 8 = 23
 18 = 2.32
 30 = 2.3.5
 => BCNN (8; 18; 30) = 23.32.5 = 360.
 Giáo viên nên đưa nhiều bài tập dạng cơ bản như thế này nhằm củng cố lí 
thuyết và củng cố kĩ năng tìm BCNN.
Bài toán 4: (Bài 82/T34 – Sách ôn tập toán 6)
Tìm BCNN của 3 số sau: Số nhỏ nhất có 2 chữ số, số lớn nhất có 3 chữ số và số 
nhỏ nhất có 4 chữ số.
 Ta có:
 - Số nhỏ nhất có 2 chữ số là 10.
 - Số lớn nhất có 3 chữ số là 999.
 - Số nhỏ nhất có 4 chữ số là số 1000.
 11/26 Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán về bội chung và bội chung nhỏ nhất
 Giáo viên có thể phân tích.
 Ba bạn An, Bảo, Ngọc ở ba lớp khác nhau.
 An cứ 5 ngày trực nhật một lần.
 Bảo cứ 10 ngày trực nhật một lần.
 Ngọc cứ 8 ngày trực nhật một lần.
 Lần đầu ba em trực nhật cùng một ngày.
 Vậy số ngày ít nhất để 3 em lại trực nhật cùng phải chia hết cho 5; chia hết 
cho 10; chia hết cho 8.
 => Số ngày đó phải là BCNN của 5; 10; 8.
 BCNN (5; 10; 8) = 40
 Khi đó An đã trực nhật: 40 : 5 = 8 ( lần )
 Bảo đã trực nhật: 40 : 10 = 4 ( lần )
 Ngọc đã trực nhật: 40 : 8 = 5 ( lần )
Bài toán 7: (Bài 83/T34 – Sách ôn tập toán 6)
 Một số tự nhiên khi chia cho 4, cho 5 và cho 6 đều dư 1. Tìm số đó, biết 
rằng số đó chia hết cho 7 và nhỏ hơn 400.
Trước hết giáo viên phải nắm thông tin từ phía học sinh xem học sinh hiểu được 
bài toán và hướng làm của các em như thế nào. Đối với những học sinh chậm 
hiểu giáo viên có thể giảng chậm và rõ ràng để học sinh có thể theo kịp.
 Học sinh có thể hiểu số đó chia cho 4, cho 5, cho 6 đều dư 1 có nghĩa là số 
đó trừ đi 1 sẽ chia hết cho cả 4; 5; 6. Vậy chỉ bằng một phép suy luận có thể tìm 
ra hướng giải của bài toán.
 Gọi x là số cần tìm (x N*, x  7 và x < 400) 
 Theo đề bài:
 x – 1  4 
 x – 1  5 => x – 1 BC (4; 5; 6)
 x – 1  6
 Ta có: BCNN (4; 5; 6) = 60
 BC (4; 5; 6) = B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; 420; }
 => x – 1 = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; 420;}
 => x = {1; 61; 121; 181; 241; 301; 361; 421; }
 Mà x  7 và x < 400 nên x = 301
 Vậy số phải tìm là 301.
Bài toán 8: (Ví dụ 35/T61 – Sách kiến thức cơ bản và nâng cao toán 6 tập 1)
 Một liên đội thiếu niên khi xếp hàng 3, hàng 4, hàng 5, đều thừa 2 người. 
Tính số đội viên của liên đội, biết rằng số đội viên vào khoảng 160 đến 190. 
 13/26