SKKN Một số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật trong môn Toán 6

 MỤC LỤC
MỤC LỤC 1
PHẦN THỨ NHÂT - ĐẶT VẤN ĐỀ 2
I. Lý do chọn đề tài 2
II. Mục đích nghiên cứu 3
III. Đối tượng nghiên cứu 3
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu 3
V. Phạm vi nghiên cứu 4
VI. Đối tượng nghiên cứu 4
PHẦN THỨ HAI – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 5
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN 5
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 5
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 6
III.1. Những kiến thức cần lưu ý khi tính tổng dãy số và làm các bài tập liên 6
quan. 
III.2. Một số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật 8
III.2.1. Phương pháp khử liên tiếp 8
III.2.2. Phương pháp xây dựng các công thức tổng quát 14
III.2.3. Phương pháp dự đoán và quy nạp 17
III.2.4. Ứng dụng 18
III.2.4.1.Ứng dụng trong bài toán tìm x 18
III.2.4.2. Ứng dụng trong bài toán chứng minh 21
IV. KẾT QUẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 23
PHẦN THỨ BA – KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 24
I. KẾT LUẬN 24
II. KHUYẾN NGHỊ 24
TÀI LIỆU THAM KHẢO 26
 1 em còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật của 
dãy số). Trong khi đó dạng toán này trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ đưa ra một vài 
bài toán dạng sao (*), không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự 
vận động kiến thức của mình. Dạng toán tính tổng “Dãy số viết theo quy luật” đòi 
hỏi tổng hợp nhiều kiến thức, đối với học sinh phải phân tích, nhận xét, nhận dạng 
nhanh bài toán để đưa ra quy luật của dãy số. Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài “Một 
số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật trong môn toán 6” để đưa ra 
một số phương pháp nhận biết cho học sinh.
II. Mục đích nghiên cứu.
 Trong thực tế có nhiều bài toán tính tổng của dãy số rất phức tạp. Nhưng nếu 
chúng ta tìm ra quy luật của nó thì việc tính tổng trở nên thuận lợi và dễ dàng hơn.
 “Một số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật ” với mục đích 
định ra hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải đối với một 
dãy số nhất định. Ngoài ra còn đưa ra cho học sinh phương pháp phân tích bài toán 
một cách nhanh chóng, đọc ra được quy luật của dãy số nhanh nhất, hợp lí nhất.
 Nội dung của đề tài này góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả 
năng phân tích, tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn 
phương pháp hợp lí, phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh để giúp cho 
giáo viên và học sinh giải quyết tốt vấn đề này.
III. Đối tượng nghiên cứu.
 Trong quá trình nghiên cứu đề tài, qua thực tế giảng dạy toán 6 tôi xác định rõ 
đối tượng nghiên cứu là: 
 + “Một số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật”. 
 + Ứng dụng của bài toán tính tổng dãy số trong các bài toán tìm x, chứng minh, ....
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu.
 Đề tài này đòi hỏi phải giải quyết một số vấn đề sau:
 1. Khai thác đề bài, cách tìm lời giải bài toán dẫn đến việc nắm được quy luật 
của dãy số.
 2. Từ việc khai thác trên nêu ra được phương pháp giải một bài toán cụ thể.
 3. Đưa ra bài toán tổng quát.
 4. Nêu ứng dụng của phương pháp. 
 3 PHẦN THỨ HAI - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN.
 Trong thực tế giảng dạy bộ môn số học 6, chúng ta gặp nhiều bài toán tính 
tổng các dãy số khá phức tạp. Học sinh có thể sẽ rất lúng túng, đôi khi là bế tắc khi 
gặp dạng toán này. Nhưng nếu chúng ta biết cách tìm ra quy luật của nó thì việc 
tính tổng các dãy số đó sẽ trở nên thuận lợi và dễ dàng hơn rất nhiều. 
 Chính vì vậy trong đề tài này tôi mạnh dạn đưa ra những dạng toán liên quan 
tới việc tính tổng của dãy số và một số bài toán liên quan nhằm mục đích rèn luyện 
cho học sinh tư duy sáng tạo khi học và giải toán; giúp học sinh biết cách định 
hướng và giải bài tập liên quan ngắn gọn để phát huy trí lực học sinh và làm học 
sinh tự tin khi giải toán và thi cử.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.
 Năm học 2017 – 2018, tôi vinh dự được nhà trường phân công giảng dạy tại 
lớp 6A2, là lớp chọn hai của khối 6. Vì vậy mà tôi luôn mong muốn giúp đỡ học 
sinh tiếp cận nhiều hơn các dạng toán nâng cao, góp phần giúp các em nâng cao 
kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, tính toán, .... Từ đó học sinh có thể 
tự tin tham gia đội tuyển cũng như kì thi học sinh năng khiếu các cấp. Tuy nhiên, 
trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh của tôi khi gặp những bài toán 
dạng tính tổng của dãy số thì hầu như các em gặp khó khăn, bế tắc và giải được 
rất ít.
 Từ thực tế đó tôi đã cho học sinh trong lớp 6A2 làm một đề toán với dạng tính 
tổng của dãy số để tôi có thể đánh giá khả năng thực sự của các em với dạng toán 
trên như thế nào. 
 Dưới đây là đề và kết quả kiểm tra.
* Đề kiểm tra:(Thời gian - 30 phút ) 
 Tính tổng:
 1. A = 1 + 2 + 3 + 4 +  + 100
 2. B = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100
 1 1 1
 3. C = ...... 
 1.2 2.3 99.100
 1 1 1
 4. D = ...... 
 2.4 4.6 48.50
 5 c. Nhân các phân số: 
 A C A.C
 * . (B, D 0)
 B D B.D
d. Chia 2 phân số:
 A C A.D
 * : (B, C, D 0)
 B D B.C
3. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số.
 a. Tính chất giao hoán:
 a c c a
 * Phép cộng: (b, d 0)
 b d d b
 a c c a
 * Phép nhân: . . (b, d 0)
 b d d b
b. Tính chất kết hợp:
 a c m a c m 
 * Phép cộng : (b, d, n 0)
 b d n b d n 
 a c m a c m 
 * Phép nhân: . . . . (b, d, n 0)
 b d n b d n 
c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (trừ).
 a c m a m c m
 * . . . (b, d, n 0)
 b d n b n d n
4. Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b.
 * Tính chất bắc cầu:
 Nếu a > b, b > c thì a > c
 * Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng:
 Nếu a > b thì a + c > b + c
 * Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân:
 Nếu a > b thì a . c > b . c (c > 0)
 * Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều:
 Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d
5. Quy tắc nhân hai lũy thưà cùng cơ số.
 * am. an = am+n (m, n N* , a 0)
 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
 = ... 
 1 2 2 3 3 4 n n 1 1 n 1 n 1
2. Ví dụ 2.
 2 2 2 2
 Tính tổng: B = ... 
 1.3 3.5 5.7 99.101
*Hướng dẫn tìm lời giải:
 Ta thấy B là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là tích 
của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số đó 
là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân số 
trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2.
 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1
 ; ; ;  ; 
 1.3 1 3 3.5 3 5 5.7 5 7 99.101 99 101
 Từ đó ta dễ dàng tính được tổng đã cho.
*Lời giải:
 2 2 2 2
 B = ... 
 1.3 3.5 5.7 99.101
 1 1 1 1 1 1 1 1
 = ... 
 1 3 3 5 5 7 99 101
 1 100
 = 1 
 101 101
*Bài toán tổng quát:
 2 2 2 2 2
 S = ... ... (n lẻ)
 1.3 3.5 5.7 99.101 n.(n 2)
 1 1 1 1 1 1 1 1
 = ... 
 1 3 3 5 5 7 n n 2
 1 n 1
 = 1 
 n 2 n 2
3. Ví dụ 3.
 2 2 2 2 2
 Tính tổng: C ..... 
 1.2 3.4 4.5 19.20 20.21
*Hướng dẫn tìm lời giải:
 Ta thấy các số hạng trong dãy số trên là những phân số có tử là 2 còn mẫu là 
tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Vậy trước hết ta phải dựa vào tính chất phân phối 
của phép nhân với phép cộng, để đặt thừa số chung sao cho hiệu của 2 thừa số 
dưới mẫu đúng bằng tử sau đó biến đổi như các ví dụ trên.
 9 * Bài toán tổng quát:
 m m m m
 S ..... (n chia 3 dư 1)
 1.4 4.7 7.10 n.(n 3)
 m 3 3 3 3 
 ..... 
 3 1.4 4.7 7.10 n.(n 3) 
 m 1 
 1 
 3 n 3 
5. Ví dụ 5. 
 Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ...
 6 66 176 336
*Hướng dẫn tìm lời giải:
 Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là: 6; 66; 176; 336; ... 
Vậy trước hết ta phải viết các mẫu đó thành tích của 2 số nào đó và phải đi tìm số 
hạng thứ 100 của dãy.
 Dễ thấy: 6 = 1.6
 66 = 6.11
 176 = 11.16
 336 = 16.21
Nhận thấy mẫu của các phân số này có quy luật là:
 + Tích của hai số có số tận cùng là 1 và một số tận cùng là 6.
 + Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị.
Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng: (5n – 4).(5n + 1)
=> Mẫu của số thứ 100 của dãy số: (5.100 – 4).(5.100 + 1) = 496.501
 1 1 1 1
 Ta cần tính tổng E = ... 
 1.6 6.11 11.16 496.501
 Tương tự như bài trên ta tách từng phân số thành hiệu của 2 phân số, ta nhận 
 1 1 5 1 1 1 1
thấy: => ( ) 
 1 6 1.6 5 1 6 1.6
 1 1 5 1 1 1 1
Tương tự như vậy => ( ) ; .... ;
 6 11 6.11 5 6 11 6.11
 1 1 5 1 1 1 1
 => ( ) 
 496 501 496.501 5 496 501 496.501
Từ đó ta tính được tổng E một cách dễ dàng.
 11 1 1 2
 Tổng quát ta có thể áp dụng: 
 n(n 1) (n 1)(n 2) n(n 1)(n 2)
*Lời giải:
 1 1 1 1
 F = ... 
 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 = + ++ 
 2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 2 37.38 38.39 
 1 1 1 1 1 1 1 
 = ... 
 2 1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39 
 1 1 1 1 1 1 
 = = 
 2 1.2 38.39 2 2 38.39 
 1 741 1 1 740 1 370 185
 = . = . = . =
 2 38.39 2 38.39 2 741 741
*Bài toán tổng quát:
 1 1 1 1 1 1 1 
 S = ... = . 
 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) 2 2 (n 1).(n 2) 
 1 (n 1).(n 2) 2 (n 1).(n 2) 2
 = . =
 2 2(n 1).(n 2) 4(n 1).(n 2)
7. Ví dụ 7.
 Tính tổng: G = 1.2 +2.3 + 3.4 ++ 98.99
*Hướng dẫn tìm lời giải:
 Ta thấy số hạng của G là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Nếu để áp dụng 
phương pháp khử liên tiếp như những bài toán trên ta phải nhân mỗi số hạng của G 
với 3 thừa số 3 này được viết dưới dạnh (3 – 0) ở số hạng thứ nhất, (4 – 1) ở số 
hạng thứ 2, (5 – 2) ở số hạng thứ 3... và (100 – 97) ở số hạng cuối cùng.
*Lời giải:
 Ta có G = 1.2 +2.3 + 3.4 ++ 98.99
= > 3G = 1.2.(3 – 0) +2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) ++ 98.99.(100 – 97)
 =1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +...+ 98.99.100 – 97.98.99
 = 98.99.100
 98.99.100
 G = 323400
 3
 13