Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp nhằm nâng cao năng lực tư duy cho học sinh thông qua dạy giải bài tập phân số Lớp 6

 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
 ---------------- 
 ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
 Kính gửi: Hội đồng sáng kiến thành phố Thái Nguyên.
 Tôi ghi tên dưới đây:
 Tỷ lệ 
 (%) 
 đóng góp 
 Ngày Trình độ 
Số Nơi công tác Chức vào việc 
 Họ và tên tháng năm chuyên 
TT danh tạo ra 
 sinh môn
 sáng 
 kiến
 Trường THCS 
1 Nguyễn Thị Xuân 20/7/1991 Giáo viên Đại học 100 %
 Cam Giá
 Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: 
 “Một số giải pháp nhằm nâng cao năng lực tư duy cho học sinh thông qua dạy 
 giải bài tập phân số lớp 6”
 - Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thị Xuân
 - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên môn - Toán.
 - Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 
 Ngày 25/1/2018
 - Mô tả bản chất của sáng kiến:
 1. Những kiến thức cơ bản về phân số
 ❖ Định nghĩa.
 a
 - Người ta gọi với a,b ,b 0 là một phân số, a là tử số (tử), b là mẫu số 
 b
 (mẫu) của phân số.
 a c
 - Hai phân số và gọi là bằng nhau nếu a.d b.c
 b d
 1 + So sánh phần bù đơn vị.
 + So sánh với 1.
 + Sử dụng các tính chất:
 a c
 - Cho a, b, c, d , b 0, d 0thì a.d b.c
 b d
 a a a k
 - Cho a b, b 0 , tương ứng là 1 thì , k *
 b b b k
Bài toán 1:
 172000 1 172001 1
 So sánh các phân số: A = và B = 
 172001 1 172002 1
❖ Phân tích 
 Ta thấy A, B là hai phân số không cùng mẫu, giá trị của tử số và mẫu số rất 
lớn vì vậy không thể so sánh hai phân số này bằng cách quy đồng tử (mẫu) số để 
đưa hai phân số về dạng cùng tử (mẫu) số. Nhận thấy hai phân số đem so sánh có 
tử số và mẫu số đều chứa những số hạng là lũy thừa của 17. Trong đó số mũ của tử 
nhỏ hơn số mũ của mẫu một đơn vị. Điều này gợi ý cho ta nhân cả A và B với 17 
nhằm tách 17A và 17B thành tổng các số nhằm xuất hiện phân số có cùng tử số có 
thể so sánh được.
❖ Lời giải
 172000 1 172001 17 16
Ta có: 17.A = 17  1 
 172001 1 172001 1 172001 1
 172001 1 172002 17 16
 17.B = 17  1 
 172002 1 172002 1 172002 1
 16 16
Ta thấy 172001 1 172002 1 
 172001 1 172002 1
 17.A > 17.B hay A > B
 Cách 2: Ngoài cách trên để so sánh A và B ta có thể nghĩ đến việc áp dụng 
 a a a m
tính chất 1 và có được lời giải sau:
 b b b m
 172001 1
 Ta có: B = 1
 172002 1
 3 quyết định kết quả so sánh. Khi thay lũy thừa của 17 bằng lũy thừa của các số bất 
kì thì ta có bài toán tương tự sau:
 1099 1 10100 1
Bài toán 5: So sánh A và B với:A = và B = 
 10100 1 10101 1
Bài toán tổng quát: So sánh A và B với:
 an 1 am 1
 A = và B = (m,n,a, b *, m n )
 an b 1 am b 1
 Lời giải:
 an b ab ab 1
 Ta có ab .A = 1 
 an b 1 an b 1
 am b ab ab 1
 ab .B = 1 
 am b 1 am b 1
 ab 1 ab 1
 Ta thấy > ab . A > ab . B hay A > B
 an b 1 am b 1
 Vậy A > B.
Bài toán 6: So sánh hai biểu thức A và B biết rằng:
 2000 2001 2000 2001
 A = và B = 
 2001 2002 2001 2002
❖ Phân tích 
 Ta thấy phân số B có tử là tổng của các tử và mẫu là tổng các mẫu của các phân 
 2000 2000 2001 2001
số trong A. Nhận thấy: ; 
 2001 2001 2002 2002 2001 2002
 Từ đó ta đi đến cách giải cho bài toán trên
❖ Lời giải
 Cách 1:
 2000 2000 2001 2001
 Ta có ; 
 2001 2001 2002 2002 2001 2002
 2000 2001 2000 2001
 Suy ra 
 2001 2002 2001 2002 2001 2002
 2000 2001 2000 2001
 Vậy A > B
 2001 2002 2001 2002
 5 ❖Lời giải 
 1 1 1 1
Ta có: 
 32 2.3 2 3
 1 1 1 1
 42 3.4 3 4
 ...
 1 1 1 1
 1002 99.100 99 100
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Vậy A =   
 22 32 1002 22 2 3 3 4 99 100 22 2 100
 3 1 3 3
Hay A < . Vậy A <
 4 100 4 4
❖ Nhận xét
 1
 Nhìn lại lời giải bài toán ta thấy, bằng việc so sánh mỗi phân số với phân 
 k 2
 1
số sau đó tổng hợp lại ta sẽ đi so sánh tổng A với một tổng trung gian mà 
 k 1  k
ở đó các số hạng triệt tiêu nhau. Với cách làm đó ta có thể giải các bài toán tương 
tự sau:
 1 1 1 1
Bài toán 10: So sánh A = ... với 
 102 112 20132 9
 1 1 1 1
Bài toán 11: So sánh A = ... với 
 992 1002 20132 98
Qua các bài toán ở trên ta thấy số được so sánh với tổng là số chỉ liên quan tới số 
 1
hạng đầu mà không liên quan tới số hạng cuối của tổng. Nếu số hạng đầu là thì 
 a2
 1
số được so sánh là . 
 a 1
 7 ❖ Nhận xét
 1
 Trong bài tập này, các số hạng của tổng đều có dạng . Nhờ vào việc đánh 
 k 3
 1
giá từng số hạng của tổng với ta có thể so sánh tổng A với một tổng 
 k 1 .k. k 1 
trung gian mà ở đó các số hạng triệt tiêu nhau.
 Cùng với phương pháp giải trên ta có thể giải các bài toán tương tự sau:
 1 1 1 1
Bài toán 13: So sánh A = ... với 
 33 43 20133 12
 1 1 1 1
Bài toán 14: So sánh A =  với 1
 22 32 42 102
 1 1 1
Bài toán 15: So sánh A2 =  với 1
 22 32 20122
 Qua các bài toán trên ta thấy phân số đem so sánh chỉ phụ thuộc vào số hạng 
 1
đầu, không phụ thuộc vào số hạng cuối của tổng. Nếu số hạng đầu là thì phân 
 a3
 1 1
số đem so sánh là  . Từ đây ta có bài toán tổng quát sau:
 2 a 1 .a
 1 1 1 1
Bài toán tổng quát: So sánh An = ... ... với 
 a3 a 1 3 a k 3 n3
 1 1
  . Trong đó a,k,n ;a 1
 2 a 1 .a
Lời giải
 1 1 1 1 1 
 Ta có: 3 
 a a 1 .a. a 1 2 a 1 .a a. a 1 
 1 1 1 1 1 
 3 
 a 1 a. a 1 . a 2 2 a. a 1 a 1 . a 2 
 ...
 1 1 1 1 1 
 3 
 n n 1 .n. n 1 2 n 1 .n n. n 1 
 9 Qua lời giải của bài toán trên ta thấy để tính tổng các số hạng được viết theo 
quy luật như trên ta chỉ cần phân tích mỗi số hạng trong tổng thành hiệu hai phân 
 1 1
số có dạng để làm triệt tiêu bớt các số hạng trong tổng, giúp cho việc tính 
 k k 1
tổng trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Áp dụng phương pháp giải trên ta có thể giải 
các bài toán tương tự sau:
 1 1 1
Bài toán 2: Tính tổng S = ... 
 1.2 2.3 99.100
 1 1 1
Bài toán 3: Tính tổng S = ... 
 n 1.2 2.3 n. n 1 
❖ Nhận xét
 Ta thấy các số hạng trong tổng cần tính đều là các phân số được viết theo quy 
luật: Mẫu số là tích của hai thừa số hơn kém nhau một đơn vị, thừa số cuối ở mẫu 
của số hạng đứng trước chính là thừa số đầu ở mẫu của số hạng tiếp theo. Khi đó, 
mỗi số hạng có thể phân tích thành hiệu của hai số hạng triệt tiêu được trong tổng, 
từ đây sẽ tính được tổng một cách dễ dàng. Nếu tăng sự chênh lệch giữa các thừa 
số ở mẫu của các số hạng trong tổng lên hai đơn vị ta có bài toán sau:
 1 1 1
Bài toán 4: Tính tổng S = ... 
 1.4 4.7 97.100
 1 1 1 1
Bài toán 5: Tính tổng S = ... 
 2 6 12 90
 (Hướng dẫn: Ta thấy 2 1.2, 6 2.3, 12 3.4,..., 90 9.10)
 2 2 2
Bài toán 6: Tính tổng: S = ... 
 3.5 5.7 98.100
 3 3 3
Bài toán 7: Tính tổng S = ... 
 2.5 5.8 97.100
Bài toán tổng quát: Tính tổng:
 k k k
 S = .. với n, k, a *
 a. a k a k . a 2k a n 1 .k.a n.k
Lời giải
 k 1 1
Ta có 
 a. a k a a k
 11 Cộng vế với vế ta được:
 1 1 1 1 1 1 1 1 
S = ...  ... 
 1.2.3 2.3.4 98.99.100 2 1.2 2.3 98.99 99.100 
 1 1 1 1 99.100 1
 =  
 2 1.2 99.100 4 99.100
 Do đó, nếu tăng số hạng của tổng lên, hoàn toàn tương tự như trên ta có thể 
giải quyết các bài toán sau:
 1 1 1
Bài toán 9: Tính tổng S = ... 
 1.2.3 2.3.4 2013.2014.2015
Bài toán 10: Tính tổng 
 1 1 1
S = ... 
 a 1 .a. a 1 a. a 1 . a 2 a n 1 . a n . a n 1 
Lời giải
 1 1 1 1 
 Ta có: 
  
 a 1 .a. a 1 2 a 1 .a a. a 1 
 1 1 1 1 
  
 a. a 1 . a 2 2 a. a 1 a 1 . a 2 
 1 1 1 1 
  
 a n 1 . a n . a n 1 2 a n 1 . a n a n . a n 1 
Cộng vế với vế ta được:
 1 1 1 1 1 
S =  ... 
 2 a 1 .a a. a 1 a n 1 . a n a n . a n 1 
 1 1 1 
 =  
 2 a 1 .a a n . a n 1 
c) Bài toán rút gọn phân số
 Bài toán rút gọn phân số là một trong những dạng toán cơ bản của phần phân 
số. Dạng toán này không có quy luật giải chung mà đòi hỏi HS trước khi giải cần 
phải nhìn nhận bài toán một cách tổng quan, phân tích, so sánh, tổng hợp, khái 
quát hóa,... để tìm ra dấu hiệu bản chất của bài toán. Nhờ đó giúp HS nâng cao 
được các năng lực tư duy phục vụ cho việc giải toán sau này. Dưới đây là một số 
bài toán giúp HS nâng cao năng lực tư duy:
 13