Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh Lớp 6 tìm tòi lời giải một số dạng toán về chia hết

 MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
 Toán học có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư 
duy của học sinh. Dạy toán là dạy học sinh cách học toán và dạy học sinh giải 
bài tập toán. Đối với HS thì giải Toán là hoạt động chủ yếu của việc học tập 
môn Toán. Để phát triển tư duy bộ môn Toán cho học sinh người giáo viên cần 
hướng dẫn học sinh cách học, cách suy luận, cách tìm tòi lời giải bài toán. Tuy 
nhiên, học sinh lớp 6 là đối tượng học có sự thay đổi nhiều về cách học, cách 
suy luận cũng như cách trình bày. Vì vậy việc hướng dẫn học sinh phân tích và 
tìm lời giải cho mỗi bài toán là rất quan trọng. Học sinh thường không biết bắt 
đầu từ đâu, không biết vận dụng kiến thức nào vào việc giải bài tập, không biết 
cách trình bày lời giải, giải được rồi thì lần khác lại quên...Vì vậy, tôi đã quan 
tâm đến việc hình thành và rèn luyện kĩ năng về tư duy cũng như việc phân tích 
bài toán, suy luận, tạo điều kiện cho học sinh tăng cường luyện tập, thực hành, 
rèn luyện kĩ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và 
vào các môn học khác.
 Việc học toán không chỉ là học giống như trong sách giáo khoa, không 
chỉ là làm những bài tập mà thầy cô giáo giao cho mà học toán còn là suy nghĩ, 
tìm tòi, phân tích tìm lời giải cho những bài toán đó. Ngoài ra, người học còn 
biết tổng quát hoá, khái quát hoá dưới sự hướng dẫn của giáo viên từ đó có thể 
tự giải các bài tập tương tự hoặc vận dụng giải các bài tập dạng khác.
 Đối với chương trình số học 6, phần chia hết học sinh đã được học ở tiểu 
học nhưng dưới góc độ thừa nhận để sử dụng giải toán, còn chương trình lớp 6 
đòi hỏi học sinh phải suy luận cũng như giải thích những kiến thức đã được 
công nhận ở tiểu học, vì vậy học sinh gặp nhiều khó khăn khi suy luận cũng 
như trình bày. Hơn nữa phần chia hết liên quan đến nhiều phần kiến thức trong 
chương trình số học 6 cũng như liên quan đến nhiều phần kiến thức của chương 
trình toán 7, 8, 9.
 1 NỘI DUNG
2.1. Thực trạng tình hình
 Đa số học sinh khi giải Toán, ban đầu là quá trình bắt chước theo mẫu. 
Đối với các dạng bài tập ở mức độ vận dụng thấp, học sinh biết giải nhưng 
không biết trình bày lời giải; ở mức độ vận dụng cao, học sinh chưa biết định 
hướng cách làm
 Phần kiến thức về toán chia hết được vận dụng vào giải nhiều dạng bài 
toán khác, song học sinh chưa nhận ra cũng như chưa biết cách suy luận bắt 
đầu từ đâu. Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh phân tích, tìm tòi lời giải 
cho dạng toán đó, đồng thời phân tích, khai thác sao cho học sinh có thể làm 
những dạng bài tương tự hoặc không lạ khi thay đổi câu hỏi của bài toán.
 Một số tình huống giáo viên thay đổi đề bài khiến học sinh lúng túng đòi 
hỏi giáo viên có những câu hỏi gợi mở, phân tích để tìm hướng giải cho bài 
toán đó:
 Ví dụ 1: Khi học sinh giải bài toán tìm x để biểu thức A = 963 + 351 + x 
chia hết cho 9, giáo viên đặt vấn đề thay đổi biểu thức A = 963 + 352 + x chia 
hết cho 9 thì ta làm như thế nào ? 
 Ví dụ 2: Khi học sinh làm bài tìm số tự nhiên x thoả mãn 35  x và 15  x
 thành bài toán tìm số tự nhiên x thoả mãn 35  x – 1 và 15  x – 1, khá nhiều 
học sinh gặp khó khăn trong việc trình bày.
 Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất, biết: x + 2 vừa chia hết cho 4, 5, 6.
Khi thay đổi đề bài thành bài toán: “ Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất biết rằng x chia 
cho 4 dư 2; chia cho 5 dư 3, chia cho 6 dư 4 “ thì rất nhiều học sinh lúng túng kể 
cả học sinh khá giỏi... và nhiều tình huống khác.
2.2 Biện pháp giải quyết
 Để hướng dẫn HS tìm lời giải bài tập, trước hết tôi phải đóng vai trò là 
người học, tự mình tiến hành giải bài tập đó, tìm ra các kiến thức cơ bản, dạng 
toán, các bước giải bài toán. Trên cơ sở đó phân bậc hoạt động phù hợp với đối 
 3 • Dấu hiệu chia hết cho 5: Chữ số tận cùng của số đó là các chữ số 0 hoặc 
5
• Dấu hiệu chia hết cho 9: Tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9
 Một số dấu hiệu bổ sung. 
• Dấu hiệu chia hết cho 4: Hai chữ số tận cùng của số đó tạo thành số chia 
hết cho 4
• Dấu hiệu chia hết cho 6: Số đó vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3
• Dấu hiệu chia hết cho 8: Ba chữ số tận cùng của số đó tạo thành số chia 
hết cho 8
• Dấu hiệu chia hết cho 10: Chữ số tận cùng là chữ số: 0
• Dấu hiệu chia hết cho 11: Hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn với tổng 
các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11
• Dấu hiệu chia hết cho 14: Kết hợp của dấu hiệu chia hết cho 2 và dấu 
hiệu chia hết cho 7
• Dấu hiệu chia hết cho 15: Kết hợp của dấu hiệu chia hết cho 3 và dấu 
hiệu chia hết cho 5.
• Dấu hiệu chia hết cho 25: Ba chữ số tận cùng của số đó tạo thành số chia 
hết cho 25
• Dấu hiệu chia hết cho một hợp số khác ta đưa về xét sự chia hết cho hai 
số nguyên tố cùng nhau mà tích của chúng là hợp số đó.
 c) Tính chất chia hết của một tổng, hiệu: Cho a, b , c Z.
 Nếu a c và b c thì (a + b) c
 và (a - b) c 
 Nếu a c và b c thì (a + b) c
 và (a - b) c 
 Các tính chất này còn đúng với nhiều số hạng của tổng, hiệu.
 d) Tính chất chia hết của một tích: Cho a, b , c Z.
 + Nếu a b và b c thì a c
 5 • Hướng dẫn học sinh phân tích đề bài. Đề bài cho những yếu tố gì? 
 Cần tính, chứng minh những yếu tố gì ? từ đó hướng dẫn học sinh 
 trình bày lời giải một cách hợp lý.
 • Sau khi thực hiện xong một bài tập, giáo viên cần củng cố các kiến 
 thức toán học quan trọng nào của bài tập yêu cầu học sinh khắc sâu 
 để vận dụng cho các bài tập khác.
 • Khai thác bài toán bởi các kiểu câu hỏi khác nhau, các bài toán nâng 
 cao hơn, khái quát, tổng quát hoá bài toán.
 • Giao về nhà những bài tập tương tự hoặc dưới dạng tổng quát hơn bài 
 toán đã giải. 
Sau đây là một số dạng bài tập đã phân loại để hướng dẫn học sinh luyện 
giải và khai thác các dạng toán. 
 DẠNG 1: NHẬN BIẾT SỐ CHIA HẾT
Bài 1: Trong các số: 4827; 5670; 6815
 a) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 ?
 b) Số nào chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9 ?
 Hướng dẫn giải:
GV đặt vấn đề tìm lời giải: 
a) Muốn tìm số chia hết cho 3, không chia hết cho 9 ta làm như thế nào ?
 Trả lời: - Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9, ta tính tổng các chữ số của số 
đó.
 - Tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3, tổng 
các chữ số của số đó chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 9.
 b) Số chia hết cho 2 và 5 có đặc điểm gì ?
 - Số có tận cùng là chữ số 0
 7 b. Trong các số trên, số nào chia hết cho 15
 c. Trong các số trên, số nào chia hết cho 45
 d. Trong các số trên, số nào chia hết cho 2 mà không chia hết cho 
 5
 Hướng dẫn:
 i. Vì 6 = 2. 3. Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên 
 số nào vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 thì số đó chia 
 hết cho 6. Vậy số đó là : 5670.
 ii. Vì 15 = 5. 3. Mà 5 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên 
 số nào vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 3 thì số đó chia 
 hết cho 15. Vậy số đó là : 5670.
 iii. Vì 45 = 9. 5. Mà 5 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên 
 số nào vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 9 thì số đó chia 
 hết cho 45. Vậy số đó là : 5670.
 iv. Số có tận cùng là một trong các chữ số: 0; 2; 4; 6; 8 thì số 
 đó chia hết cho 2. Số chia hết cho 5 có tận cùng là chữ số 
 0 hoặc 5 nên số không chia hết cho 5 là những số có chữ 
 số tận cùng khác 0 và 5. Vậy không có số nào thoả mãn 
 đề bài.
Bài tập tương tự : 
 Bài 1.2. Trong các số: 825; 9187; 2780
 a) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9
 b) Số nào chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9
 e. Trong các số trên, số nào chia hết cho 4
 f. Trong các số trên, số nào chia hết cho 25
 g. Trong các số trên, số nào chia hết cho 6
 h. Trong các số trên, số nào chia hết cho 15
 i. Trong các số trên, số nào chia hết cho 45
 9 Giải:
 a) Ta có : 963 9 ; 351 9
 Nên để A 9 thì x 9, hay x = 9k ( k N )
 Nên để A 9 thì x 9, hay x = 9t ( t N )
 b) Ta có : B = 111 + 21 + 45 + x
 = (111 + 21 ) + 45 + x
 = 45 + (132 + x )
 = 45 + 130 + ( 2 + x )
 Vì 45 5 và 130 5 nên để B 5 thì ( 2 + x ) 5 
 => ( 2 + x ) = 5.k ( k N ) => x = 5. k – 2 ( k N )
 Khai thác bài toán: 
 GV hướng dẫn học sinh thay đổi bài toán:
 Cách 1: Thay đổi câu hỏi:
 Cho B = 111+ 21 + x + 45 với x N.
 a) Tìm điều kiện của x để A chia hết cho 3, để A không chia hết cho 3.
 b) Tìm điều kiện của x để B chia hết cho 2, B không chia hết cho 2.
 Cách 2: Ta thấy dù biểu thức A hay B khi tính giá trị biểu thức đều có chữ 
 số tận cùng là chữ số chưa biết vì thế có thể thay bài toán 1 bởi bài toán 2 
 sau đây:
Bài 2. Cho số: 5173*
 a) Thay * bằng các chữ số nào để được số đó chia hết cho cả 2 và 5
 b) Thay * bằng các chữ số nào để được số đó chia hết cho cả 2 và 9
 Hướng dẫn giải:
Đặt vấn đề tìm lời giải:
 a) Để số đó chia hết cho cả 2 và 5 ta sử dụng những dấu hiệu chia hết nào?
 - Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2 và 5.
 b) Tương tự để tìm chữ số * ta lần lượt áp dụng những dấu hiệu chia hết nào?
 11 b) Chia hết cho cả 2; 3; 5; 9
 Hướng dẫn giải:
 a) Áp dụng dấu hiệu chia hết cho cả 2 và 5 bằng cách xét chữ số tận cùng.
 b) Xét dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 sau đó xét dấu hiệu chia hết cho 9 vì số 
 chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3.
 c) Nhận thấy: 45 = 5.9 nên số đó vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 9.
 Giải
 a) Số chia hết cho 2 và 5 thì có chữ số tận cùng là chữ số 0. 
 Vì vậy b= 0; a là chữ số bất kỳ khác 0.
 b) Số chia hết cho 2 và 5 thì có chữ số tận cùng là chữ số 0. 
 Vì vậy b= 0.
 Tổng các chữ số của số đó là: a + 5 + 6 + 0  9
 a + 11  9 
 a = 7
 Khai thác bài toán: 
 GV hướng dẫn học sinh thay đổi bài toán:
 Tìm chữ số a, b thoả mãn điều kiện sau:
a) a560b chia hết cho 45
b) a560b chia hết cho cả 5 và 9 nhưng không chia hết cho 2
Hướng dẫn giải: Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 
 để a560b  45 a 56 và0b 9
 Xét a560b  5 b {0 ; 5}
 Nếu b = 0 ta có số a5600  9 a + 5 + 6 + 0  9
 a + 11  9 . Vì a là chữ số 
 a = 7
 Nếu b = 5 ta có số a5605  9 a + 5 + 6 + 5  9
 a + 16  9 vì a là chữ số.
 a = 2
 13 a) 35  x và x < 6 
 b) 35  x và 15  x
 c) 35  x – 1 và 15  x - 1
 Hướng dẫn: 
 a) Vì 35  x => x Ư ( 35)
 => x { 1; 5; 7; 35 } 
 Mà x < 6 nên x { 1; 5 } 
 b) C1: Vì 35  x => x Ư ( 35 ) => x { 1; 5; 7; 35 } 
 15  x => x Ư ( 15) => x { 1; 3; 5; 15 } 
 => x { 1; 5 } 
 C2: Ta có thể tìm x thông qua ước chung lớn nhất của 35 và 15. 
 Tuy nhiên , do số ở đề bài cho dễ tìm ước nên ta làm theo cách 1. 
 c) Vì 35  x -1 => x - 1 Ư ( 35 ) => x -1 { 1; 5; 7; 35 } 
 15  x - 1=> x - 1 Ư ( 15) => x - 1 { 1; 3; 5; 15 } 
 => x - 1 { 1; 5 } => x { 2; 6 } 
 Khai thác 2: Nếu ở bội xuất hiện thêm x thì ta không thể tìm x như 
 trên mà tìm cách biến đổi sao cho bội chỉ là một số tự nhiên hay 
 số nguyên đã biết.
Bài 4.2. Tìm x N, biết:
 a ) x + 16  x + 1. c) 3 x + 5  2x + 1.
 b) 3x + 5  x + 1. d) 5 – 2x  x + 1.
 Hướng dẫn tìm lời giải:
a) Muốn biến đổi sao cho bội không chứa x ta làm như thế nào?
 + Tìm cách làm triệt tiêu x ở bội (x + 16 )
 + Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu.
GV lưu ý: Muốn áp dụng tính chất của một hiệu thì điều kiện để thực hiện 
được phép trừ trong tập hợp số tự nhiên là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng 
 15