Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh Lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa

 UBND QUẬN THANH XUÂN
 TRƯỜNG THCS THANH XUÂN NAM
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 6 ÔN LUYỆN
 CÁC BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA
 Lĩnh vực/ Môn: Toán 
 Cấp học: Trung học cơ sở
 Tên tác giả: Phạm Thị Nhung
 Đơn vị công tác: Trường THCS Thanh Xuân Nam 
 Chức vụ: Giáo viên
 NĂM HỌC 2020 – 2021 2
 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa”
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
 Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học.Vì thế 
môn toán đóng một vai trò quan trọng trong nhà trường. Học sinh nắm vững các 
kiến thức toán học, sẽ dễ dàng học tập các môn khác. Thông qua việc học môn 
toán các em được rèn luyện các phương pháp suy nghĩ, suy luận, cách tính toán 
khoa học, cách đặt vấn đề và giải quyết vấn đề. Từ đó giúp các em phát triển trí 
thông minh, óc sáng tạo. Đồng thời việc học toán còn góp phần hình thành cho 
các em các phẩm chất đạo đức tốt như: cần cù, chịu khó, kiên trì, cẩn thận, làm 
việc có kế hoạch, khoa học. Đó là những yếu tố thiết yếu mà học sinh cần có để 
từ đó làm chìa khóa chiếm lĩnh và khám phá những kiến thức ở các môn học 
khác .
 Để giúp học sinh học tốt môn toán đòi hỏi người thầy phải có sự lao động 
sáng tạo nghiêm túc, là một giáo viên giảng dạy môn toán, bản thân tôi luôn trăn 
trở rất nhiều vì trong quá trình học toán, làm toán các em học sinh cũng gặp rất 
nhiều khó khăn bởi các dạng toán rất phong phú, mà thời gian có hạn. Chính vì 
thế mà dạy và học như thế nào để học sinh không những nắm vững kiến thức 
một cách có hệ thống có chiều sâu mà các em còn hứng thú và say mê học toán . 
 Vấn đề đặt ra trong giải toán là phải biết nhận dạng và lựa chọn phương 
pháp giải thích hợp. Dạng toán về lũy thừa được đề cập trong sách giáo khoa 
ngay từ đầu năm lớp 6 là một vấn đề mới khiến các em có nhiều bỡ ngỡ. Để giải 
được các bài tập nâng cao về toán lũy thừa, ngoài việc nắm bắt kiến thức cơ bản 
có trong chương trình, học sinh còn phải tìm hiểu một số kiến thức bổ sung mở 
rộng. Những kiến thức này không được phân phối trong trong các tiết học nên học 
sinh ít được vận dụng và rèn luyện. Vì vậy khi gặp những bài tập khó học sinh sẽ 
cảm thấy bế tắc, chán nản từ đó không còn thích thú học môn toán nữa. 
 Là một giáo viên dạy toán, tôi mong các em chinh phục được nó và 
không chút ngần ngại khi gặp một số dạng toán này. Tôi thấy rằng cần phải giúp 
các em nắm được các kiến thức cơ bản, các dạng toán, các phương pháp giải. 
nên trong đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” 
tôi xin được đưa ra hệ thống các kiến thức, các dạng bài tập được sắp xếp theo 
từng nội dung, từng chủ đề, từng dạng bài.
Cụ thể là:
Phần I: Lý thuyết
Phần II: Các dạng bài tập kỹ năng:
 Dạng 1: Tìm số chưa biết.
 Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của giá trị luỹ thừa.
 Dạng 3: So sánh hai luỹ thừa
 Dạng 4: Tính toán trên lũy thừa 
 Dạng 5: Toán đố với luỹ thừa
 Tôi chọn đề tài này với mong muốn giúp học sinh học tốt hơn phần toán 
luỹ thừa, giúp các em không còn thấy sợ khi gặp một bài toán luỹ thừa hay và 
khó. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh lớp 6 khi học 
và đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dưới dạng các bài tập
 2. Mục đích nghiên cứu
 4
 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa”
 Luật Giáo dục 2005, điều 28.2 đã ghi “ Phương pháp giáo dục phổ thông 
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp 
với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, khả 
năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, 
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
 Với tình hình tiến độ phát triển của đất nước trong giai đoạn hiện nay thì 
giáo dục là quốc sách hàng đầu và đào tạo con người luôn đảm nhận vai trò hết 
sức quan trọng trong việc “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân 
tài” mà Đảng, nhà nước đã đề ra.
2. Cơ sở thực tiễn
 Một số học sinh trung bình, yếu chưa mạnh dạn phát biểu, chưa chủ động 
trong quá trình giải toán cũng như vận dụng kiến thức vào giải toán
 Tình trạng chung hiện nay là học sinh chưa chủ động trong tìm hiểu kiến 
thức mới từ sách giáo khoa và sách tham khảo
 Không biết cách áp dụng lý thuyết sách giáo khoa theo hướng phát hiện và 
giải quyết vấn đề để rút ra cách giải.
 Chưa tích cực nghiên cứu bài nên chưa thật sự mang lại hiệu quả cao về 
chất lượng giáo dục.
 Vì vậy để hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa, trước 
hết học sinh phải được cung cấp và nắm vững những kiến thức cơ bản về lũy 
thừa và công thức tổng quát cũng như các bước thực hiện phép tính, trình bày 
hoàn chỉnh bài toán như thế nào? Cụ thể những vấn đề được giải quyết.
 Kiến thức cơ bản
 Kiến thức bổ sung
 Các dạng bài tập và phương pháp chung 
 3.Các biện pháp nghiên cứu
 Đưa ra từng dạng bài cụ thể, mỗi dạng từ bài dễ đến bài khó, từ đơn giản 
đến phức tạp. Từ đó học sinh nhận dạng được từng dạng bài và biết cách làm 
rồi trình bày cụ thể từng dạng bài. 
Dạng 1:Tìm số chưa biết
Loại 1: Tìm cơ số, thành phần trong cơ số của luỹ thừa
Loại 2: Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa
Loại 3: Một số trường hợp khác
Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của giá trị lũy thừa
Loại 1: Tìm một chữ số tận cùng
Loại 2:Tìm hai chữ số tận cùng
Loại 3:Tìm ba chữ số tận cùng trở lên
Dạng 3: So sánh hai lũy thừa
Dạng 4: Tính toán trên lũy thừa
Dạng 5: Toán đố trên lũy thừa
 a. Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên .
 + Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau , mỗi thừa số bằng a
 n *
 a = a.a.........a (n N )
 n thừa số a 
 6
 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa”
 x = -4 2x - 1 = 2 
 Vậy x = - 4 2x = 2 + 1
 2x = 3
 3
 x = 
 2
 3
 Vậy x = 
 2
 c, (2x - 3)2 = 9 
 2x -3 = 3 hoặc 2x -3 = -3
 2x = 6 2x = 0
 x = 3 x = 0
 Vậy x = 3 hoặc x = 0 .
 d, (x - 2)2 = 16
 x - 2 = -4 hoặc x - 2 = 4
 x = -2 x = 6
 Vậy x = -2 hoặc x = 6
 Bài 2. Tìm x Z biết : x2 = x5 
 Nếu ở bài 1 học sinh giải một cách dễ dàng thì đến bài 2 này không tránh 
khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa đó cùng cơ số “ chưa biết”, số mũ đã 
biết nhưng lại khác nhau. Vậy phải làm cách nào đây? Nhiều học sinh sẽ tìm mò 
tìm được x = 0 hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ không thuyết phục lắm bởi biết 
đâu cũng còn số x thỏa mãn đề bài thì sao?
 Giáo viên có thể gợi ý:
 x 2 0 x 0
 x2 = x5 x5 - x2 = 0 x2.(x3 - 1) = 0 => 
 3 3
 x 1 0 x 1
 x 0
 x 1
 Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau :
 10 20
 Bài 3 . Tìm y Z biết : (y - 1) = (y - 1) (*)
 10 20
 Hướng dẫn : Đặt y - 1 = x . Khi đó (*) trở thành : x = x 
 10 x 0
 x 0 x 0 
 Giải tương tự bài 2 ở trên ta được : x 1 
 10 10 
 x 1 0 x 1
 x 1
 Rất có thể học sinh dừng lại ở đây, vì đã tìm được x. Nhưng đề bài yêu cầu 
tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y.
 +) Với x = 0 ta có: y -1 = 0 y = 1 
 +) Với x = 1 ta có: y -1 = 1 y = 2 
 +) Với x = -1 ta có: y - 1 = -1 y = 0 
 Vậy y 0 ;1;2  
 Bài 4 : Tìm x Z biết : (x - 5)2 = (1 - 3x)2 
 Bài này ngược với bài trên, hai lũy thừa đó có số mũ đã biết giống nhau 
nhưng cơ số chưa biết lại khác nhau. Lúc này ta cần sử dụng tính chất: bình 
phương của hai lũy thừa bằng nhau khi hai cơ số bằng nhau hoặc đối nhau.
 8
 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa”
 1. Tìm x biết :
 a, (2x - 1)4 = 81 b, (x -2)2 = 1
 c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125
 2. Tìm y biết :
 a, y200 = y b, y2008 = y2010
 c, (2y - 1)50 = 2y - 1 d, (y-5 )2000 = (y-5 )2008
 3. Tìm a , b ,c biết :
 a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 0
 b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 0
 c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 0
 d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 0
Loại 2: Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa.
 Phương pháp: Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số
 Bài 1: Tìm n N biết :
 a, 2008n = 1 c, 32-n. 16n = 1024
 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162
 Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a,
 a, 2008n = 1 2008n = 20080 n = 0
 Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn: tổng của hai lũy thừa có 
cùng cơ số nhưng không cùng số mũ. Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên
 b, 5n + 5n+2 = 650
 5n + 5n.52 = 650
 5n.(1 + 25) = 650
 5n = 650 : 26
 5n = 25 = 52
 n = 2
 Theo hướng làm câu b, học sinh có ngay cách làm câu c, và d,
 c, 32-n. 16n = 1024
 (25)-n. (24)n = 1024
 2-5n. 24n = 210
 2-n = 210
 n = -10
 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162
 3n-1 + 5 . 3n-1 = 162
 6 . 3n-1 = 162
 3n-1 = 27 = 33
 n - 1 = 3
 n = 4
 Bài 2 : Tìm hai số tự nhiên m, n biết :
 2m + 2n = 2m+n
 Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này, không biết phải làm như thế nào để 
tìm được hai số mũ m và n. Giáo viên gợi ý:
Theo đề bài : 2m + 2n = 2m+n
 2m+n - 2m - 2n = 0
 10
 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa”
 2x+1 . 3y = 22x.3x
 3 y 22x
 3x 2 x 1
 3y-x = 2x+1
 y-x = x-1 = 0
 Hay x = y = 1
 3. b. 10x : 5y = 20y
 10x = 20y . 5y
 10x = 100y
 10x = 1002y
 x = 2y
 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65
 4. b. . 2n
 35 35 35 25 25
 4.45 6.65
 . 2n
 3.35 2.25
 46 66
 . 2n
 36 26
 46 = 2n 212 = 2n n = 12
Loại 3. Một số trường hợp khác
 Bài 1: Tìm x biết:
 (x-1) x+2 = (x-1)x+4 (1)
 Thoạt nhìn ta thấy đây là một bài toán rất phức tạp, vì số cần tìm có mặt cả 
trong số mũ và cơ số. Vì thế, học sinh rất khó xác định cách giải, nhưng chúng 
ta có thể đưa về bài toán quen thuộc bằng một phép biến đổi sau:
 Đặt x-1 = y ta có: x + 2 = y + 3
 x + 4 = y + 5
 Khi đó (1) trở thành : yy+3 = yy+5
 yy+5 - yy+3 = 0
 yy+3(y2 - 1) = 0
 yy+3 = 0 hoặc y2 - 1 = 0.
 * Nếu: yy+3 = 0 => y = 0
 Khi đó : x - 1 = 0 hay x = 1.
 * Nếu : y2 - 1 = 0
 y2 = (-1)2 =12 y = 1 hoặc y = -1
 Với y = 1 ta có : x - 1 = 1 hay x = 2
 Với y = -1 ta có : x - 1 = -1 hay x = 0
 Vậy: x 0;1;2
Bài 2: Tìm x biết :
 x(6-x)2003 = (6-x)2003
 Với bài này, x xuất hiện cả trong cơ số và cả ở ngoài (không phải ở trong số 
mũ như bài trên). Học sinh sẽ lúng túng và gặp khó khăn khi tìm lời giải, khi đó 
giáo viên hướng dẫn.
 x. (6-x)2003 = (6-x)2003
 x. (6-x)2003 - (6-x)2003 = 0