Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải một số dạng toán về số chính phương

 MỤC LỤC
 Trang
 I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1
1. Lý do chọn đề tài. 1
2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Đối tượng, khách thể nghiên cứu 1
4. Phương pháp nghiên cứu. 2
5. Phạm vi và thời gian nghiên cứu. 2
 II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3
1. Khảo sát thực tế 3
2. Số liệu điều tra trước khi thực hiện 3
3. Những biện pháp thực hiện. 4
3.1. Cơ sở lí thuyết về số chính phương 4
3.1.1 Định nghĩa 4
3.1.2. Một số tính chất của số chính phương 5
3.1.3 Một số kiến thức liên quan 6
3.2. Các biện pháp về phương pháp giảng dạy 7
3.3. Phân loại dạng toán và phương pháp giải cụ thể 7
3.3.1. Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương 7
3.3.2. Dạng 2: Chứng minh một số không là số chính phương 11
3.3.3. Dạng 3: Tìm số để kết quả là số chính phương 16
 3.4. Bài tập tự luyện 20
4. Kết quả thực hiện 21
 III. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 22
1. Kết luận 22
2. Khuyến nghị 22
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 2
 + Khách thể nghiên cứu bổ trợ: Gồm 3 giáo viên toán khối 6 và học sinh 
khá, giỏi khối 6 của năm học 2019 -2020 làm đối chứng. 
4. Phương pháp nghiên cứu
 - Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
 - Phương pháp đặt vấn đề và giải quyết vấn đề.
 - Phương pháp đàm thoại, vấn đáp.
 - Phương pháp phân tích.
 - Phương pháp tổng hợp.
 - Phương pháp thực nghiệm.
 - Phương pháp thống kê toán học.
5. Phạm vi và thời gian nghiên cứu
 - Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán về sô chính 
phương thuộc phạm vi chương trình lớp 6 phù hợp với các đối tượng học sinh 
thuộc các khóa học khác nhau mà tôi trực tiếp giảng dạy trong các năm học vừa 
qua thông qua một số bài toán điển hình tại các giờ học luyện tập, ôn tập, bồi 
dưỡng học sinh theo nhu cầu, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi.
 - Thời gian nghiên cứu: Năm học 2019 - 2020 và năm học 2020 - 2021. 4
Bài 3: (2đ) Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) sao cho ab ba là số chính 
phương.
 Kết quả thu được cụ thể như sau:
 Số HS Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu
 khảo sát SL % SL % SL % SL %
 35 5 14,3 10 28,6 16 45,7 4 11,4
 Nhận thấy tỉ lệ học sinh đạt điểm khá, giỏi còn thấp vì bài 2 nhiều em lập 
luận chưa chặt chẽ (một số em chỉ mò tìm ra kết quả), còn bài 3 đa số các em 
không biết cách làm như thế nào.
3. Những biện pháp thực hiện 
 Trong quá trình làm đề tài bản thân tôi đã vận dụng những phương pháp 
nghiên cứu đã học như : Thống kê kết quả, so sánh và đối chứng. Phương pháp 
phân tích tổng hợp, đánh giá. Hệ thống hoá tài liệu, đối chiếu, nghiên cứu thêm 
nhiều các tài liệu có liên quan để chọn lọc những kiến thức cơ bản, trọng tâm . 
Giúp làm mới tư liệu và đưa ra những kết quả chính xác nhất . Ngoài ra, bản 
thân cần phải học hỏi thêm kinh nghiệm của các đồng nghiệp đi trước để làm 
kinh nghiệm cho bản thân.
 Đồng thời để đạt hiệu quả cao trong dạy và học, trước hết tôi thường xây 
dựng hệ thống các bài tập hợp logic. Khai thác bài toán theo từng mảng, mỗi 
mảng lại chia ra từng phần sao cho mỗi phần có sự liên kết chặt chẽ với nhau về 
cấu trúc cũng như phương thức giải toán. Đặt vào tình huống có vấn đề; làm nảy 
sinh tình huống mới, vấn đề mới và nhu cầu khám phá kiến thức mới. Đối với 
mỗi bài toán sau khi giải đều có phần nhận xét về thể loại và hướng phát triển. 
Khuyến khích HS tự tìm hiểu sự tương tự trong các bài toán từ đó thêm một vài 
dữ kiện để có được bài toán mới có nội dung phong phú.
 Với kinh nghiệm của mình trong nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng HS 
giỏi cùng với sự tham khảo kinh nghiệm của các đồng nghiệp, tôi xin giới thiệu 
một vài biện pháp để giúp các em lớp 6 giải quyết tốt các bài toán về số chính 
phương như sau:
3.1. Cơ sở lí thuyết về số chính phương
3.1.1. Định nghĩa 
 Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
 Tức là, nếu A là số chính phương thì A = k2 (k N).
 * Ví dụ: 0; 1; 4; 9; 16; 25; ... 6
Tính chất 3: Số các ước của một số chính phương (khác 0) là số lẻ. Ngược lại, 
một số có số các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương.
 Chứng minh
 Gọi A là số tự nhiên khác 0
- Nếu A = 1 thì A là số chính phương có một ước. 
- Nếu A > 1 thì A có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là:
 A = ax.by.cz (Với a, b, c,  là các số nguyên tố đôi một khác nhau)
Suy ra số lượng các ước của A là (x + 1)(y + 1)(z + 1)  
a) Nếu A là số chính phương thì x; y; z;  là các số chẵn
 Nên x + 1; y + 1; z + 1;  là các số lẻ, do đó số lượng các ước của A là số lẻ.
b) Ngược lại nếu số lượng các ước của A là số lẻ thì (x + 1)(y + 1)(z + 1)  là số 
lẻ. Do đó các thừa số x+1; y+1; z+1;  đều là số lẻ
 Suy ra x; y; z;  là các số chẵn. 
 Đặt x = 2x’, y = 2y’; z = 2z’;  (x’; y’; z’; N) thì A = (ax’by’cz’)2 nên 
A là số chính phương (đpcm)
Tính chất 4: Nếu số A nằm giữa bình phương hai số tự nhiên liên tiếp thì A 
không thể là số chính phương.
 Nghĩa là: Nếu n2 < A < (n+1)2 thì A không là số chính phương.
Chú ý: - Tính chất 4 sẽ được chứng minh ở lớp trên.
 - Thường dùng tính chất 4 để kết luận một số không là số chính phương.
3.1.3. Một số kiến thức liên quan
 Để giải quyết tốt các bài toán về số chính phương học sinh còn cần đến một 
số kiến thức liên quan sau:
 - Cách phân tích cấu tạo số
 - Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố;
 - Cách xác định số lượng các ước của một số; ...
 - Các tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích
 - Các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9, 4, 25, 8, 125, 11;
 - Cách tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa;
 - Hai đẳng thức thường dùng trong giải toán về số chính phương: 
 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (1)
 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 (1)
 Chứng minh
 Chứng minh đẳng thức (1):
 2 2 2 2
 Ta có: a + 2ab + b = (a + ab ) + (ab + b ) = a (a + b) + b (a + b)
 = (a+ b) (a + b) = (a + b)2 .
 Chứng minh tương tự ta cũng có đẳng thức (2). 8
* Các ví dụ
 Khi giải quyết các bài toán dạng này ta thường dùng phương pháp dựa vào 
định nghĩa. Còn phương pháp tính số ước rất ít dùng chỉ áp dụng cho các số dễ 
phân tích ra thừa số nguyên tố.
 Trước hết giáo viên đưa ra một ví dụ thật đơn giản để khắc sâu định nghĩa 
số chính phương.
Ví dụ 1: (Bài tập 72 – tr31/SGK): Mỗi tổng sau có là số chính phương không?
 a) 13 + 23 
 b) 13 + 23 + 33
 c) 13 + 23 + 33 + 43
 Đây là bài toán cơ bản nên hầu hết học sinh đều dễ dàng khẳng định các 
tổng trên đều là số chính phương
 Từ ví dụ này giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác mở rộng bài toán bằng 
cách tổng quát hóa như sau:
 ?1: Hãy so sánh: 
 13 + 23 với (1 + 2)2
 13 + 23 + 33 với (1 + 2 + 3)2
 13 + 23 + 33 + 43 với (1 + 2 + 3 + 4)2
 ?2: Hãy đưa ra nhận xét dự đoán cho trường hơp tổng quát?
Lời giải:
 Ta có: 13 + 23 = 9 = 32 = (1 + 2)2
 13 + 23 + 33 = 62 = (1 + 2 + 3)2
 13 + 23 + 33 + 43 = 102 = (1 + 2 + 3 + 4)2
 Nhận xét: 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2 (với n N*)
 Giáo viên nhấn mạnh: Nhận xét tổng quát trên đúng và sẽ được chứng 
minh ở chương trình lớp 8.
 Tiếp theo giáo viên dẫn dắt để đưa học sinh đến ví dụ tiếp theo 
 Từ nhận xét: 1 + 3 = 4 = 22 
 1 + 3 + 5 = 9 = 32
 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
 Hãy nêu nhận xét tổng quát và chứng tỏ nhận xét đó đúng? từ đó ta có 
ví dụ tiếp theo
Ví dụ 2: Hãy chứng tỏ rằng tổng của dãy các số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số 
chính phương.
 Hướng dẫn: Tức là cần chứng tỏ với n N* thì 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) 
là số chính phương. 
 Lưy ý: 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) là tổng của dãy số cách đều. 10
Nhận xét: 
 - Trong ví dụ trên ta không chỉ biết được a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 là một 
số chính phương mà còn biết được nó còn là bình phương của số nào.
Chẳng hạn:
 a) 1. 2. 3. 4 + 1 = 25 = 52 
 2. 3. 4. 5 + 1 = 121 = 112 
 3. 4. 5. 6 + 1 = 361 = 192 
 4. 5. 6. 7 + 1 = 841 = 292 
 b) Biểu thức sau đây là bình phương của số tự nhiên nào ?
 +) 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = ?
 Vì a = 10 nên a2 + 3a + 1 = 102 + 3.10 + 1 = 131
 Do vậy 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = 1312 
 +) 15 . 16 . 17 . 18 + 1 = ? 
 Vì a = 15 nên a2 + 3a + 1 = 152 + 3.15 + 1 = 271
 Do vậy 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = 2712 
 - Với cách chứng minh tương tự như trên ta còn khai thác và giải quyết 
được hai bài toán sau:
 i) Chứng minh tích của 4 số tự nhiên chẵn liên tiếp cộng 16 là một số chính 
phương.
 ii) Chứng minh tích của 4 số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng 16 là một số chính 
phương.
* Bài tập vận dụng
Bài toán 1: Trong các số sau, số nào là số chính phương?
 1945
 21000; 31993 ; 4161; 192
Hướng dẫn giải: 
 Ta có: 21000 = 22.500 = (2500)2 
 Số 3 là số nguyên tố mà 31993 có 1994 (số chẵn) ước số.
 4161 = (22)161 = (2161)2 
 1945 1994 1994
 192 192 .2 (192 )2
 1945
 Vậy ba số 21000; 4161; 192 là số chính phương.
Bài toán 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên chẵn liên tiếp cộng 16 là một số 
chính phương.
Hướng dẫn giải: 
 Gọi bốn số tự nhiên chẵn liên tiếp là 2a, 2a + 2, 2a + 4, 2a + 6 (a N)
 Xét T = 2a(2a + 2)(2a + 4)(2a + 6) + 16 
 = 16 . a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 16
 = 16 . [a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1]
 Đến đây bài toán được giải quyết (dùng kết quả ví dụ 4) 12
* Các ví dụ
 Dưa vào phương pháp nhìn chữ số tận cùng các em có thể giải được ví dụ 
sau đây:
Ví dụ 1: Chứng minh số: n = 2004 2 + 20032 + 20022 - 20012 không là số chính 
phương.
Lời giải:
 Ta thấy chữ số tận cùng của các số: 2004 2, 20032, 20022, 20012 lần lượt là 
6, 9, 4, 1. Do đó n có chữ số tận cùng là 8. Nên n không phải là số chính phương 
Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số 0, 1, 4, 5, 6, 9 
nhưng vẫn không là số chính phương. Khi đó cần lưu ý thêm một chút nữa: Nếu 
số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2.
Ví dụ 2: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương.
Lời giải:
 Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0), nhưng 
không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90  25). 
 Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.
Chú ý: Cũng có thể lập luận số 1234567890 chia hết cho 2 nhưng không chia 
hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90  4). 
Ví dụ 3: Có hay không một hình vuông mà độ dài các cạnh là số tự nhiên, còn 
diện tích bằng 111 (có 2001 chữ số 1).
Phân tích tìm lời giải: Giáo viên cho học sinh nhắc lại công thức tính diện tích 
hình vuông. 
 Vậy muốn tồn tại hình vuông có cạnh là a (a N) thì số đo diện tích phải 
thỏa mãn điều gì?
 Học sinh trả lời: Số đo diện tích phải là số chính phương. 
 Với gợi ý trên học sinh sẽ thấy ví dụ 3 trở thành quen thuộc, tương tự cách 
làm của ví dụ 2: Cần kiểm tra số 1 11 có là số chính phương không?
 2001 c/s 1
Lời giải:
 Số 1 1...1 có tổng các chữ số bằng 2001 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
 2001 c/s 1
 Suy ra 1 1...1 không là số chính phương
 2001 c/s 1
 Do đó không tồn tại hình vuông như vậy
Ví dụ 4: Chứng minh các tổng sau không là số chính phương
 a) A = 3 + 32 + 33 +  +320 
 b) B = 2 004 000
 c) C = 1010 + 5