Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập Số học 6

 Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6
 A- ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
 Ngày nay, với sự phát triển như vũ bão của khoa học kĩ thuật và sự phát triển 
mạnh mẽ của đất nước, đòi hỏi ngành giáo dục phải thay đổi tầm nhìn và phương 
thức hoạt động là yêu cầu tất yếu, vì sản phẩm của giáo dục là con người. Nó 
quyết định vận mệnh tương lai của một đất nước, điều này thể hiện rõ trong chính 
sách: “Coi giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu cùng với khoa học công 
nghệ là yếu tố quyết định góp phần phát triển khoa học và xã hội”. Do đó cần phải 
đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục và đào tạo của Việt Nam theo hướng 
chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế. 
 Toán học ra đời gắn liền với con người, với lịch sử phát triển và cuộc sống 
xã hội loài người nói chung, con người nói riêng. Nó có lí luận thực tiễn lớn lao 
và quan trọng như đồng chí: Phạm Văn Đồng đã nói: “Toán học là môn thể thao 
của trí tuệ nó giúp chúng ta rèn luyện tính thông minh và sáng tạo”. 
 Trong giáo dục, môn toán có một vị trí quan trọng. Trong nhà trường các tri 
thức toán giúp học sinh học tốt các môn học khác, trong đời sống hàng ngày thì 
toán học giúp con người có được các kĩ năng tính toán, vẽ hình, đọc, vẽ biểu đồ, 
đo đạc, ước lượng,... từ đó giúp con người có điều kiện thuận lợi để tiến hành 
các hoạt động lao động sản xuất trong thời kì công nghiệp hóa và hiện đại hóa 
đất nước. 
 Qua thực tế giảng dạy tôi thấy, học sinh lớp 6 bước đầu làm quen với 
chương trình THCS nên còn nhiều bỡ ngỡ gặp không ít khó khăn. Đặc biệt với 
phân môn số học, mặc dù đã được học ở tiểu học, nhưng với những đòi hỏi ở 
cấp THCS buộc các em trình bày bài toán phải lôgíc, có cơ sở nên đã khó khăn 
lại càng khó khăn hơn. Việc giải toán được coi như là nghệ thuật thực hành 
giống như các môn thể thao, võ thuật Vì vậy để có kĩ năng giải bài tập phải 
trải qua quá trình luyện tập. Tuy nhiên không phải là cứ giải bài tập là có kĩ 
năng. Việc luyện tập sẽ có hiệu quả nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài 
tập sang một loạt bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, nhằm 
rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó. Thực tiễn cho thấy học sinh 
thường học toán không chú ý nhiều đến phương pháp giải nên khi gặp những bài 
toán có sử dụng phương pháp tương tự gặp nhiều lúng túng.
 Xuất phát từ lý do trên và sự tâm huyết với nghề, tình yêu thương các em 
học sinh, niềm đam mê dành cho bộ môn toán tôi không ngừng trau dồi kiến 
thức, học hỏi kinh nghiệm, nâng cao tay nghề trong việc soạn giảng bằng những 
kinh nghiệm riêng của bản thân và đây cũng là lý do để tôi chọn đề tài này. 
 1/16 Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6
chất nào đó, nhằm rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó. Quan sát đặc 
điểm bài toán, khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan trọng hơn là sự khái 
quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải. Sự thực là khi giải bài tập thì không 
chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài trong một loạt vấn đề nào đó. Do 
đó hướng suy nghĩ và phương pháp giải bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa 
chung nào đó. Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát được hướng suy nghĩ và cách 
giải của vấn đề nào đó là gì thì ta sẽ có thể dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng 
loại và sẽ mở rộng ra. Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý khai thác hướng 
suy nghĩ và cách giải.
 Trước khi thực hiện đề tài tôi cho học sinh 2 lớp 6A và lớp 6C của trường 
THCS Tản Hồng làm bài kiểm tra có nội dung liên quan đến dãy số theo quy 
luật và kết quả cụ thể như sau:
 * Lớp 6A:
 Tổng số Giỏi Khá Trung bình Dưới trung bình
 36 5 15 9 7
 % 13,9 41,7 25 19,4
 * Lớp 6C:
 Tổng số Giỏi Khá Trung bình Dưới trung bình
 32 2 10 12 8
 % 6,2 31,3 37,5 25
 Thông qua kết quả trên tôi thấy rằng cần phải khuấy động phong trào học 
toán, khơi dậy lòng ham học của các em để các em đạt được kết quả cao hơn. 
 Vì vậy tôi đã áp dụng đề tài vào học sinh lớp 6A của trường THCS Tản Hồng 
mà tôi đang trực tiếp giảng dạy. 
B. GIẢI PHÁP VÀ CÁCH THỰC HIỆN: 
 XÉT BÀI TẬP 9.3 TRANG 24 SÁCH BÀI TẬP TOÁN 6 – TẬP 2
 1 1 1
 a. Chứng tỏ rằng với n ∈ N, n ≠ 0 thì: (1)
 n(n 1) n n 1
 1 1 1 1
 b. Áp dụng kết quả ở câu a) để tính nhanh: A ... 
 1.2 2.3 3.4 9.10
Hướng dẫn:
a. Với n ∈ N, n ≠ 0. Biến đổi vế phải thành vế trái bằng cách quy đồng mẫu
 1 1 n 1 n 1
 (đpcm)
 n n 1 n(n 1) n(n 1)
b. Xét đặc điểm đẳng thức câu a: Ta thấy VT có mẫu là một tích 2 biểu thức 
 3/16 Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6
Từ đó ta có bài toán tổng quát: 
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau:
 2 2 2 2
 E ... với n N *
 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1)
Hướng dẫn: Nhận xét: 
 2 (2n 1) (2n 1) 1 1
 (2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 2n
Do đó: E 1 ... 1 
 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
*Nhận xét: Với một số bài toán để tính được tổng mà đi quy đồng mẫu thì rất phức 
tạp ta biến đổi một bước qui lạ về quen để áp dụng được bài mẫu (1) chẳng hạn:
Ví dụ 3: (Ví dụ 46/T83 – Sách toán nâng cao và các chuyên đề toán 6). 
 1 1 1 1 1 1 1
Tính: B 
 20 30 42 56 72 90 110
Hướng dẫn:
Để tính được tổng sau mà đi quy đồng mẫu thì rất phức tạp ta nhận thấy
 20 = 4.5; 30 = 5.6; 42 = 6.7; ...; 110 = 10.11 nên ta biến đổi mỗi mẫu thành 
tích của 2 số để áp dụng bài mẫu (1)
 1 1 1 1 1 1 1
 B 
 20 30 42 56 72 90 110
 1 1 1 1 1 1 1
 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11
 1 1 7
 4 11 44
*Nhận xét: Với một số bài toán có tử các phân số không giống nhau, khoảng 
cách của từng mẫu không cách đều nhau ta biến đổi như thế nào để vận dụng 
được bài mẫu (1) chẳng hạn:
Ví dụ 4: (Bài 76/T79 – Sách chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6)
 3 11 12 70 99
 Tính: A 
 5.8 8.19 19.31 31.101 101.200
Hướng dẫn: Khi quan sát học sinh lúng túng gặp khó khăn vì tử các phân thức 
không giống nhau, khoảng cách của từng mẫu không cách đều nhau nhưng quan 
sát kĩ ta nhận thấy mỗi mẫu hơn kém nhau đúng bằng tử, áp dụng bài mẫu (1) ta 
làm như sau:
 5/16 Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6
 + Tương tự như vậy có thể đề xuất một loạt bài toán cùng loại và giải quyết 
với cùng phương pháp.
 * Chú ý đến đặc điểm tử và mẫu các phân số ta có bài toán tổng quát hơn, tử là 
một số bất kì, mẫu là tích của hai số cách đều nhau thì giải quyết bài toán như 
thế nào? Chẳng hạn:
Ví dụ 7: (Bài 8/T105 – Sách tuyển tập các bài toán hay và khó lớp 6)
 3 3 3 3
 Tính tổng: ... 
 1.3 3.5 5.7 49.51
 Hướng dẫn: 
Quan sát các mẫu là tích của hai số cách đều nhau 2 đơn vị, tử lại là 5 nên ta viết 
các hạng tử trong tổng dưới dạng hiệu như sau:
 3 3 1 3 3 1 1 3 3 1 1
 Ta có: (1 ) ; ( ); ( ); ....;
 1.3 2 3 3.5 2 3 5 5.7 2 5 7
 3 3 1 1
 ( )
 49.51 2 49 51
 3 3 3 3
 Do đó ... 
 1.3 3.5 5.7 49.51
 3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 25
 (1 ... ) (1 ) 
 2 3 3 5 5 7 49 51 2 51 17
 * Nhận xét: Nếu mẫu là tích của 3 hay 4 số tự nhiên cách đều nhau thì sao? 
 Từ đó ta có bài toán khó hơn.
Ví dụ 8: (Bài 450/T22 – Sách nâng cao và phát triển toán 6 tập 2)
 1 1 1 1
Tính tổng sau: a) C ... 
 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100
 1 1 1 1
 b) D ... 
 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30
 Hướng dẫn:
 1 1 2 1 1 2 1 1 2
 a) Nhận xét: ; ; ; ...;
 1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 3.4 4.5 3.4.5
 1 1 2
 .
 98.99 99.100 98.99.100
 Do đó ta có: 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 C ( ... )
 2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 98.99 99.100
 1 1 1 1 4949 4949
 ( ) . 
 2 1.2 99.100 2 9900 19800
 7/16 Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6
Ví dụ 11: Thực hiện phép tính:
 2.2012
 D 
 1 1 1 1
 1 ... 
 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 ... 2012
Hướng dẫn:
 1
Nhận xét: 1 2 3 ... n (1 n)n ( Với n là số tự nhiên khác 0)
 2
 1 2 1 1
Do đó: 2( ) 
 1 2 3 ... n n(1 n) n n 1
 1 2 1 1 1 2 1 1
Suy ra: 2( ) ; 2( ); ...;
 1 2 2.3 2 3 1 2 3 3.4 3 4
 1 2 1 1
 2( )
 1 2 3 ... 2012 2012.2013 2012 2013
 1 1 1 1
Nên 1 ... 
 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 ... 2012
 1 1 1 1 1 1
 1 2( ... )
 2 3 3 4 2012 2013
 2.2012
Vậy D 
 1 1 1 1 1 1
 1 2( ... )
 2 3 3 4 2012 2013
 2.2012 2.2012.2013
 2013
 1 1
 1 2( ) 2.2012
 2 2013
II. KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN ỨNG DỤNG BÀI 9.3 SÁCH BÀI TẬP 
TRANG 24 TẬP II TRONG DẠNG TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC.
Ví dụ 12: (Ví dụ 15.12/T96 – Sách tài liệu chuyên toán THCS toán 6 tập 1 số học) 
 1 1 1 1 1 n
 Chứng minh: ... với n N*
 2 2.3 3.4 4.5 n(n 1) n 1
 1 (n 1) n 1 1
Hướng dẫn: Nhận xét: 
 n(n 1) n(n 1) n n 1
 1 1 1 1 1
Ta biến đổi VT = ... 
 2 2.3 3.4 4.5 n(n 1)
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
 ... 1 = VP (đpcm)
 2 2 3 3 4 4 5 n n 1 n 1 n 1
* Nhận xét: Với ví dụ 12 ta quan sát thấy các hạng tử mỗi mẫu là tích của 2 số 
tự nhiên khác 0 liên tiếp cách nhau đúng bằng tử ta áp dụng luôn bài mẫu (1) 
chứng minh được bài toán. Còn mẫu là 2 số tự nhiên cách nhau không bằng tử ta 
 9/16