Báo cáo Sáng kiến Hướng dẫn học sinh giải các bài toán chia hết Lớp 6

 Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến
 BÁO CÁO KẾT QUẢ
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
 Đối với chương trình toán 6 được viết trong SGK thì lượng kiến thức không 
nhiều nhưng bài tập áp dụng đối với mỗi kiến thức thì khá phong phú và đa dạng. 
Trong các dạng toán đó có dạng toán chia hết, dạng toán này ta bắt gặp xuyên 
suốt chương trình toán THCS. Do đó mỗi giáo viên cần rèn cho các em kỹ năng 
giải dạng toán này. Trong quá trình giảng dạydạng toán này tôi nhận thấy học sinh 
mình còn rất yếu như không biết giải và nếu biết giải thì lập luận chưa chặt chẽ. 
Nếu ở lớp 6 các em không làm quen với lập luận chặt chẽ thì lên lớp trên các em 
cảm thấy kiến thức chỉ là áp đặt, từ đó không tạo ra sự tò mò, hứng thú đối với môn 
học. Vì vậy cần có giải pháp lâu dài rèn các em biết giải toán . Có như thế toán học 
mới thực sự lôi cuốn các em vào dòng say mê chiếm lĩnh tri thức. Chính vì lẽ đó tôi 
đã viết lại những sáng kiến trong quá trình giảng dạy của mình ở trường THCS 
Tân Phong: Hướng dẫn học sinh giải các bài toán chia hết lớp 6. Mong rằng kết 
quả sáng kiến mà tôi báo cáo sẽ được giới thiệu, ứng dụng không chỉ ở phạm vi nhà 
trường mà còn được nhân rộng hơn ở trong và ngoài huyện Bình Xuyên. 
2.Tên sáng kiến:
Hướng dẫn học sinh giải các bài toán chia hết lớp 6. 
3. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
 Tác giả sáng kiến kinh nghiệm: Nguyễn Thị Lụa
 Giáo viên: Trường THCS Tân Phong - Bình xuyên -Vĩnh Phúc.
4. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 
 Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng trong lĩnh vực giảng dạy môn toán. 
Vấn đề được giải quyết là hướng dẫn học sinh giải các bài toán chia hết ở lớp 6 bậc 
THCS .
5. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
 Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng lần đầu ngày 10/9/2015
6. Mô tả bản chất của sáng kiến:
6.1. Về nội dung của sáng kiến
6.1.1. Cơ sở lí luận: 
 Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán. Nội 
dung kiến thức toán học được trang bị cho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết 
còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán. Để nắm 
vững cách giải một dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức 
đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, cẩn thận kết hợp với kinh nghiệm đã tích luỹ 
được để giải quyết. Thông qua việc giải bài tập các em được rèn luyện kĩ năng vận 
GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang 1 Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến
 10 Số có chữ số tận cùng là 0
 11 Số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và 
 tổng các chữ số hàng chẵn (kể từ phải sang trái) chia hết cho 11.
c) Tính chất của quan hệ chia hết:
 + 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0.
 + a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0.
 + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b.
 + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.
 + Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b,c) = 1 thì a chia hết cho (b.c).
 + Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) = 1 thì a chia hết cho c.
 + Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên.
 +Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a b) chia hết cho m.
 + Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a b) không chia hết cho m.
 + Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì (a.b) chia hết cho (m.n).
 + Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b 
 chia hết cho m.
 + Nếu a chia hết cho m thì a n chia hết cho m với n là số tự nhiên.
 + Nếu a chia hết cho b thì a n chia hết cho b n với n là số tự nhiên.
d) Nguyên tắc Đirichlê:
 Ngay từ khi lớp 6 giáo viên cũng có thể giới thiệu sơ lược về nguyên tắc 
Đirichlê có nội dung được phát biểu dưới dạng một bài toán:
“Nếu nhốt n con thỏ vào m lồng (m>n) thì ít nhất có một lồng nhốt không ít hơn 
hai con thỏ”.
e) Phương pháp chứng minh quy nạp:
 Muốn khẳng định An đúng với mọi n= 1,2,3, ta chứng minh như sau:
+khẳng định A1 đúng
+Giả sử Ak đúng với mọi k 1 ta cũng suy ra khẳng định Ak+1 đúng.
+Kết luận An đúng với mọi n=1;2;3; 
Thực ra, khi dạy bài tập áp dụng phương pháp này giáo viên không cần phải nói 
cầu kỳ, trừu tượng khó hiểu, mà chỉ cần đi xét từng trường hợp cho học sinh dễ 
hiểu chứ không nhất thiết phải dùng từ ta áp dụng phương pháp chứng minh quy 
nạp.
g) Phương pháp chứng minh phản chứng:
 Muốn chứng minh khẳng định P đúng có 3 bước:
 + Giả sử P sai
 +Nhờ tính chất đã biết từ giả sử sai suy ra điều vô lí
 +Vậy điều giả sử là sai, chứng tỏ P đúng.
GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang 3 Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến
 = 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211.
 Vậy tổng tất cả các số đó chia hết cho 211.
 Bài 2: Tìm chữ số a, b sao cho a63b chia hết cho đồng thời 2;3;5;9
 Hướng dẫn 
 Đầu tiên phải đề cập đến chia hết cho 2 và 5 vì nó liên quan đến chữ số tận 
cùng. Khi đã có chữ số tận cùng, ta xét tổng các chữ số vì nó liên quan đến chia hết 
cho 9. Ở đây ta không cần quan tâm đến chia hết cho 3, vì số chia hết cho 9 thì 
đương nhiên chia hết cho 3.
 a63b2,5 b 0
 a6303,9 a 6 3 09
 9 a9
 a9
 a 0;9
 a 9
(Vì a là chữ số hàng nghìn nên số 0 không có nghĩa)
Vậy a= 9; b= 0 thì a63b chia hết cho đồng thời 2;3;5;9
 Bài 3: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để được số chia 
hết cho 5; 7; 9.
 Giải:
 Giả sử ba số viết thêm là abc .
Ta có: 579abc  5 ; 7 ; 9 579abc chia hết cho 5.7.9 = 315.
Mặt khác: 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc ) chia hết cho 315.
Mà 315.1838 chia hết cho 315 (30 + abc ) chia hết cho 315 30 +abc B(315).
Do 100 abc 999 130 30 + abc 1029 
 30 + abc 315; 630; 945.
 abc 285 ; 600 ; 915.
 Vậy ba số có thể viết thêm vào là 285; 600; 915.
 Bài 4: Tìm chữ số a, b sao cho 87ab9 và a – b = 4
 Giải: 
 Lập luận 87ab9 8 7 a b9
 15 a b
 a b 3;12
Mà điều kiện a – b = 4 nên ta loại a + b = 3. Từ a –b = 4 và a + b = 12
ta tìm được a = 8; b = 4
 Bài 5: Tìm a, b sao cho b851a chia hết 3 và 4
GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang 5 Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến
 Hướng dẫn 
 Tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a. Tổng các chữ số hàng chẵn là 2a.
Hiệu của tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn là
(a + 2) - 2a = 2- a
 • Nếu a < 2 thì 2- a không chia hết cho 11
 • Nếu a 2 để (a - 2)  11 thì a - 2 = 0 a = 2 
 Vậy a=2
c) Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số
 Bài 1: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 9 không?
 a) 2412+4164
 b) 2745-5412
 c) 1.2.3.4.5.6.7.8.9 + 18
 Hướng dẫn: dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 để lập luận
 a. Không vì 4164 không chia hết cho 9
 b. Không vì 5412 không chia hết cho 9
 c. Có chia hết cho 9
 Bài 2: Cho M = 7.9.11.13 + 2.3.4.7
 N = 16 354 + 675 41
Chứng tỏ rằng: M chia hết cho 3
 N chia hết cho 5
 Giải: 
 Ta có: 7.9.11.13  3(vì 93 )
 2.3.4.7  3 (vì 3  3)
7.9.11.13 + 2.3.4.7  3
Vậy M chia hết cho 3
Ta có giá trị của tổng 16 354 + 67 541 có chữ sô tận cùng là 5 nên chia hết cho 5
Vậy N chia hết cho 5
 Bài 3: Chứng minh rằng (3n)1000 chia hết cho 81: 
 Giải: 
 Ta có
(3n)1000 = 31000. n1000 = 34. 3996. n1000 = 81.3996.n1000. 
Vì 81 chia hết cho 81 nên 81. 3996. n1000 chia hết cho 81.
 (3n)1000 chia hết cho 81.
 Bài 4: Chứng minh rằng: 165 + 215 chia hết cho 33
 Giải: 
 Ta có : 165 + 215 = (24)5 + 215 = 220 + 215 = 215(25+1) = 215 . 33
Vì 33 chia hết cho 33 suy ra 215 . 33 chia hết cho 33
 Vậy 165 + 215 chia hết cho 33.
GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang 7 Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến
 Ta có a+1= 4k+3+1 = 4k+4  4
 Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập ở dạng tổng quát.
 *Giáo viên khắc sâu cho học sinh: 
 Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.
 Bài 4: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
 Giải:
 Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2.
Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3) 
chia hết cho 3 (Tính chất chia hết của một tổng).
Từ bài tập này giáo viên có thể đưa học sinh vào tình huống có vấn đề : Có phải 
tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không?
 Qua đó gợi trí tò mò, muốn được giải quyết vấn đề của học sinh. Sau đó 
giáo viên gợi ý để trả lời câu hỏi này các em cần làm bài tập sau:
 Bài 5: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ?
 Giải: 
 Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 3.
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:
a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6). 
Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên 
(4a + 6) không chia hết cho 4.
Vậy tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
 Bài 6: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 với mọi a , b là số tự nhiên.
 Giải:
 Vì 495 chia hết cho 9 nên 495.a chia hết cho 9 với mọi a.
Vì 1035 chia hết cho 9 nên 1035.b chia hết cho 9 với mọi b. Do đó (495a + 1035b) 
chia hết cho 9.
Chứng minh tương tự ta có: (495a + 1995b) chia hết cho 5 với mọi a, b.
Mà (9, 5) = 1 suy ra (495a + 1035b) chia hết cho 45.
 Bài 7: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
 Giải: 
 Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2a, 2a + 2 (a N)
Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2a.(2a + 2) = 4a.(a + 1).
Vì a, a + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên a.(a+ 1) chia hết cho 2.
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4a.(a + 1) chia hết cho (4.2) 4a.(a + 1) chia hết cho 8.
 2a.(2a + 2) chia hết cho 8.
 Bài 8: Chứng minh rằng tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48
 Giải: 
 Gọi ba số chẵn liên tiếp là 2a, 2a +2, 2a +4 (a N)
Tích của chúng là 2a.(2a+2).(2a+4) = 2.a.2(a+1).2(a+2)
GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang 9 Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến
 Bài 1: Tìn n N để:
 a) n+4  n
 b) 3n + 7  n
 c) 27- 5n  n
 Giải:
 n 4n
a)  4  n Vậy n 1;2;4
 nn 
 3n 7n
b)  7  n Vậy n 1;7
 3nn 
 27 5nn
c)  27  n Vậy n 1;3;9;27 nhưng 5n < 27 hay n<6 
 5nn 
Vậy n 1;3
 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2).
 Giải:
 Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4.
Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2).
Do đó (5n + 14) chia hết cho (n +2) 4 chia hết cho (n + 2) 
 (n + 2) là ước của 4. (n +2) 1; 2 ; 4 n 0 ; 2
 Vậy với n 0; 2 thì (5n + 14) chia hết cho (n +2).
 n 15
 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để là số tự nhiên .
 n 3
 Giải: 
 n 15
Để là số tự nhiên thì (n + 15) chia hết cho (n + 3)
 n 3
 12 chia hết cho n+3 n+3 là ước của 12 n+3 1;2;3;4;6;12
 n 0;1;3;9 .
6.2.Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
 Qua thời gian nghiên cứu và áp dụng bản thân tôi thấy đề tài này có tác 
dụng rất lớn trong quá trình giảng dạy môn toán 6, tôi đã vận dụng sáng kiến này 
sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập. 
7. Những thông tin cần được bảo mật: Không có
8. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
 - Đối với giáo viên thường xuyên nghiên cứu các tài liệu tham khảo, các đề 
thi hsg lớp 6.
 - Đối với học sinh cần chủ động , tích cực học tập tham khảo các tài liệu, sưu 
tầm thêm các đề thi.
GV: Nguyễn Thị Lụa THCS Tân phong Trang 11